高考数学原创试题(66)——一道导数压轴题的前世今生

发布于 2021-05-13 19:40

三角函数与导数结合的问题我们在以往的原创试题中讲过几期,但是近期这类问题实在是太火了,因此今天我们再花点时间对这类问题再深入研究一下。
其实无论是何种函数模型的导数问题,其根本仍然是利用导数研究函数的单调性,并在此基础上对问题深入展开。今天分享的这道原创试题就是将函数的单调性利用到极致的一个典范。
微积分中有两个重要的极限,其中之一就是当x0时,sinx/x的值为1。此外,函数Sax=sinx/x称为抽样函数,在现代信号与系统中有着重要的应用,因此本题中的函数模型fx=sinx/x尽管形式非常简单,但是背景可谓是相当强大,这也比较符合高考数学导数问题所以涉及的函数模型的特点。
这道原创试题在编拟的过程中也可谓是一波n折,经过数次修改,终于成为了笔者喜欢的样子,其中第二问的证明设计成一个多参数不等式问题,最后一个小问的证明过程对代数变换的技巧很高,只为有希望冲击清北的考生准备!本题在解答的过程中,自始至终利用函数的单调性进行求解,因此即使很难的题目所用到的方法一般来说也是非常朴素的。
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